BUKA-TUTUP 1000 LOKER

     Saat ini penulis sedang menempuh Pendidikan Matematika S-2 di Universitas Negeri Malang (UM). Penulis ingin berbagi pengalaman ketika menjadi pemakalah kelompok pada mata kuliah Pembelajaran Matematika Sekolah 1. Topik yang dibahas adalah “Teori Bilangan” dengan referensi bab 4 buku MATHEMATICS FOR ELEMENTARY TEACHERS A CONTEMPORARY APPROACH (Ninth Edition), karangan Gary L. Musser, William F. Burger, dan Blake E. Peterson. Pada Halaman 197 ada satu soal (problem solving) yang sangat menarik, namun tidak dibahas solusinya. Untuk itu penulis mencoba membuat alternatif solusinya.

Soal tersebut sebagai berikut:

Selama waktu istirahat, 1000 siswa di Sekolah Wilson melakukan kegiatan berikut ini: Siswa pertama membuka 1000 loker di sekolah. Siswa kedua menutup semua loker bernomor genap. Siswa ketiga "mengubah" semua loker bernomor kelipatan tiga dengan menutup yang terbuka dan membuka yang tertutup. Dengan cara yang sama siswa keempat mengubah setiap loker bernomor kelipatan 4, dst. Setelah 1000 siswa seluruhnya menyelesaikan kegiatan ini, loker mana yang masih terbuka? Mengapa?

Alternatif Solusi versi penulis:

      Langkah pertama perlu kita pahami masalahnya terlebih dahulu. Kita coba selesaikan masalah sederhana yang mirip misalkan untuk 10 loker dengan bantuan tabel.

1	BUKA	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	TUTUP		2		4		6		8		10
	BUKA	1		3		5		7		9
3	TUTUP		2	3	4				8	9	10
	BUKA	1				5	6	7
4	TUTUP		2	3						9	10
	BUKA	1			4	5	6	7	8
5	TUTUP		2	3		5				9
	BUKA	1			4		6	7	8		10
6	TUTUP		2	3		5	6			9
	BUKA	1			4			7	8		10
7	TUTUP		2	3		5	6	7		9
	BUKA	1			4				8		10
8	TUTUP		2	3		5	6	7	8	9
	BUKA	1			4						10
9	TUTUP		2	3		5	6	7	8
	BUKA	1			4					9	10
10	TUTUP		2	3		5	6	7	8		10
	BUKA	1			4					9

Berdasarkan tabel pada baris terakhir, penulis menduga bahwa loker yang masih terbuka bernomor kuadrat sempurna.

      Langkah kedua penulis membuat analisa sifat-sifat bilangan yang diperoleh berdasar proses kegiatan yang dilakukan.

Perhatikan hanya siswa pertama yang memproses loker bernomor 1. Dalam hal ini sampai proses berakhir loker nomor 1 selalu terbuka.

Siswa ke 2 menutup semua loker kelipatan 2. Coba bandingkan dengan faktor dari 2 ada 2 yaitu 1 dan 2. Dalam hal ini ada 2 kali perlakuan untuk loker 2 yaitu Buka, Tutup

Siswa ke 3 memproses semua loker kelipatan 3. Coba bandingkan dengan faktor dari 3 ada 2 yaitu 1 dan 3. Dalam hal ini ada 2 kali perlakuan untuk loker 3 yaitu Buka, Tutup

Siswa ke 4 memproses semua loker kelipatan 4. Coba bandingkan dengan faktor dari 4 ada 3 yaitu 1, 2, dan 4. Dalam hal ini ada 3 kali perlakuan untuk loker 4 yaitu Buka, Tutup, Buka.

Siswa ke 5 memproses semua loker kelipatan 5. Coba bandingkan dengan faktor dari 5 ada 2 yaitu 1 dan 5. Dalam hal ini ada 2 kali perlakuan untuk loker 5 yaitu Buka, Tutup

Siswa ke 6 memproses semua loker kelipatan 6. Coba bandingkan dengan faktor dari 6 ada 4 yaitu 1, 2, 3 dan 6. Dalam hal ini ada 4 kali perlakuan untuk loker 6 yaitu Buka, Tutup, Buka, Tutup

       Langkah ketiga:

       Berdasarkan langkah 2, maka masalah di atas dapat kita bagi menjadi 3 kasus.

Kasus 1:

Bilangan prima memiliki tepat 2 faktor (genap) sehingga urutannya Buka, Tutup. Artinya setelah proses berakhir loker bernomor prima posisinya tertutup.

Kasus 2:

Bilangan komposit yang bukan kuadrat sempurna memiliki banyak faktor selalu genap. Karena bilangan ini selalu dapat ditulis dalam pasangan perkalian dua bilangan. Sebagai contoh: 12=1 x 12, 12=2 x 6, atau 12=3 x 4. Ini berarti urutannya Buka, Tutup, …., Buka, Tutup. Artinya setelah proses berakhir loker bernomor komposit yang bukan kuadrat sempurna posisinya tertutup.

Kasus 3:

Bilangan komposit yang merupakan kuadrat sempurna memiliki tepat 3 faktor. N² memiliki tepat 3 faktor yaitu 1, N, dan N². Dalam hal ini urutannya Buka, Tutup, Buka. Artinya setelah proses berakhir loker bernomor komposit yang merupakan kuadrat sempurna posisinya terbuka.

Berdasarkan 3 kasus di atas dapat disimpulkan bahwa Setelah 1000 siswa seluruhnya menyelesaikan kegiatan, yang masih terbuka adalah semua loker (31 loker) bernomor kuadrat sempurna, yaitu loker nomor 1, 4, 9, 16, 25, ……