Sabtu, 18 April 2015

SOAL dan PEMBAHASAN OSP MATEMATIKA SMP TAHUN 2015



Pada tanggal 18 April 2015 telah dilaksanaan OSN matematika SMP tingkat propinsi tahun 2015 secara serentak di seluruh Indonesia. Bagi rekan-rekan yang menginginkan soalnya silahkan unduh pada link berikut.
(SOAL OSP MAT SMP 2015) DOWNLOAD
Sedangkan untuk Pembahasan Bagian A (Isian Singkat) silahkan unduh pada link ini.
SOLUSI OSP MAT SMP 2015 (DOWNLOAD)

Pembahasan Bagian B: Soal Uraian
Nomor 1:

Diberikan himpunan A = {11, 12, 13, … , 30}. Berapakah banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4?
SOLUSI:
A = {11, 12, 13, … , 30}
Kita kelompokkan himpunan bagian A berdasar sisanya jika dibagi 4 sebagai berikut:
Misalkan P adalah himpunan yang bersisa 0, maka P={12,16,20,24,28}
Misalkan Q adalah himpunan yang bersisa 1, maka Q={13,17,21,25,29}
Misalkan R adalah himpunan yang bersisa 2, maka R={14,18,22,26,30}
Misalkan S adalah himpunan yang bersisa 3, maka S={11,15,19,23,27}
Misalkan himpunan bagian yang memiliki 4 anggota tersebut adalah {a,b,c,d}, maka
a + b + c + d habis dibagi 4. Untuk mendapatkan a, b, c, dan d ini ada beberapa kasus:
Kasus 1: Keempatnya merupakan anggota P, banyak cara = 5C4 = 5
Kasus 2: Keempatnya merupakan anggota Q, banyak cara = 5C4 = 5
Kasus 3: Keempatnya merupakan anggota R, banyak cara = 5C4 = 5
Kasus 4: Keempatnya merupakan anggota S, banyak cara = 5C4 = 5
Kasus 5: 2 bilangan anggota P dan 2 bilangan anggota R, banyak cara = 5C2. 5C2= 10.10=100
Kasus 6: 2 bilangan anggota Q dan 2 bilangan anggota S, banyak cara = 5C2. 5C2= 10.10=100
Kasus 7: 2 bilangan anggota Q, 1 bilangan anggota P, dan 1 bilangan anggota R,
banyak cara = 5C2. 5C1.5C1=10.5.5=250
Kasus 8: 2 bilangan anggota R, 1 bilangan anggota Q, dan 1 bilangan anggota S,
banyak cara = 5C2. 5C1.5C1=10.5.5=250
Kasus 9: 2 bilangan anggota S, 1 bilangan anggota P, dan 1 bilangan anggota R,
banyak cara = 5C2. 5C1.5C1=10.5.5=250
Kasus 10: 2 bilangan anggota P, 1 bilangan anggota Q, dan 1 bilangan anggota S,
banyak cara = 5C2. 5C1.5C1=10.5.5=250

Total semua kemungkinan adalah 5.4 + 2.100 + 4.250 = 1220
Jadi banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4 adalah 1220.


Nomor 2:

Pada gambar berikut, bangun ABCD adalah persegi, bangun EFGH persegi panjang dan luas dua bangun ini sama yaitu 144 cm2. Garis BC dan garis EF berpotongan di titik J dan perbandingan panjang BJ : CJ = 1 : 5. Diketahui perbandingan panjang AB : FJ : FG = 4 : 3 : 2. Jika P titik potong diagonal persegi ABCD dan Q titik potong diagonal persegi panjang EFGH, berapakah panjang PQ?

SOLUSI:

Perhatikan Gambar berikut!


Luas persegi ABCD = 144 cm2, maka sisi persegi AB=BC=12 cm
Karena BJ : CJ = 1 : 5, dan BC = 12 cm, maka BJ = 2 cm, dan CJ = 10.
Karena AB : FJ : FG = 4 : 3 : 2, dan AB = 12 cm, maka FJ = 9 cm, dan FG = 6 cm.
Diketahui P titik perpotongan kedua diagonal persegi ABCD, dan Q titik perpotongan kedua diagonal persegipanjang EFGH. Selanjutnya konstruksikan ruas garis QR//PS//AB.
Akibatnya JR = ½ . FG = 3 cm, BS = ½ .BC = 6 cm, dan RS = BS – (BJ+JR) = 6 – (2+3) =1 cm.
Karena luas persegipanjang EFGH = 144 cm2, maka EF = 144 : FG = 144 : 6 = 24 cm.
Perpanjang QR sampai memotong FG di titik T. Dapat ditentukan QT = ½ .EF = 12 cm, dan  
QR = QT – RT = 12 – 9 = 3 cm, dan PS = ½ AB = 6 cm. 
Selanjutnya perhatikan trapesium PQRS berikut ini. Konstruksikan QU//RS.
Nomor 3:
Pada sebuah permainan disediakan sejumlah kartu bernomor semua bilangan prima berbeda yang bernilai kurang dari 100 dalam suatu wadah tertutup. Permainan dilakukan dengan mengambil 2 kartu secara acak dan memeriksa bilangan yang tertera pada kartu, apakah jumlahnya merupakan bilangan prima atau bukan. Jika jumlahnya bukan bilangan prima, ia diberi kesempatan mencoba kembali sampai total 3 kali pengambilan. Seorang pemain akan memenangkan permainan, jika ia berhasil mendapatkan jumlah prima pada maksimal pengambilan ke tiga. Berapa peluang seorang pemain memenangkan permainan tersebut?
SOLUSI:
Terdapat 25 bilangan berbeda yang bernilai kurang dari 100, terdiri dari:

  • 1 bilangan genap yaitu 2
  • 24 bilangan ganjil yaitu : 3, 5, 6, 11,13, 17, 19, 23, 29,31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71,73, 79, 83, 89, 97
Aturan menang dalam permainan yaitu mengambil dua dari 25 bilangan yang ada sehingga jumlahnya prima, dengan maksimal 3 kali pengambilan. Jika kedua bilangan yang diambil ganjil maka jelas jumlahnya tidak prima karena merupakan bilangan genap selain 2. Ini berarti jumlah prima didapat dari jumlah bilangan 2 dengan satu bilangan ganjil. Selanjutnya perhatikan tabel berikut:
Prima ganjil
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
83
89
97
+2
5
7
9
13
15
19
21
25
31
33
39
43
45
49
55
61
63
69
73
75
85
91
99
P/BP
P
P
X
P
X
P
X
X
P
X
X
P
X
X
X
P
X
X
P
X
X
X
X
Keterangan: P = Prima, X= Bukan Prima

Dari tabel di atas terdapat 8 bilangan prima hasil penjumlahan dua bilangan.
Banyaknya seluruh cara pengambilan = 25C2=300
Peluang Menang pada setiap pengambilan = 8/300 = 2/75, sedangkan peluang kalah pada setiap pengambilan adalah 1 – (2/75) = 73/75
Selanjutnya peluang menang dalam permainan dapat kita bagi dalam beberapa kasus sbb:
Kasus 1: Menang pada pengambilan pertama.
P(menang I) = 2/75
Kasus 2: Menang pada pengambilan kedua.(Kalah-Menang)
P(menang II) = (73/75)(2/75) =146/5625
Kasus 3: Menang pada pengambilan ketiga.(Kalah-Kalah-Menang)
P(menang III) = (73/75)( (73/75)(2/75)=10658/421875
  
Jadi peluang seorang pemain memenangkan permainan tersebut =
P(menang I) + P(menang II) + P(menang III) = (2/75)+(146/5625)+(10658/421875)= 32858/421875


TIPS MENENTUKAN BILANGAN PRIMA:
Misalkan: Selidiki 323 apakah merupakan bilangan prima?
Perhatikan langkah-langkahnya.
Langkah 1:
Carilah Bilangan kuadrat terdekat yang 323, yaitu 324 = 182
Langkah 2: Tuliskan bilangan prima yang kurang dari 18. Yaitu:  2,3,5,7,11,13,dan 17.
Langkah 3: Bagilah 323 satu persatu dengan semua bilangan prima pada langkah 2.
Langkah 4: “Jika paling sedikit satu bilangan prima dari langkah 2 tersebut dapat membagi habis 323 maka dapat disimpulkan 323 adalah bukan bilangan prima”. Ternyata 17 dapat membagi habis 323. Jadi 323 bukan bilangan prima.