SOLUSI ALTERNATIF OSN MAT SMP TINGKAT PROPINSI ISIAN SINGKAT NO.10 YANG LEBIH ELEGAN

Pada postingan sebelumnya penulis sudah membahas tuntas solusi soal OSN  MAT SMP tingkat propinsi bagian isian singkat. Namun khusus nomor 10 penulis masih penasaran dan berusaha mencari solusi alternatif yang lebih elegan. Atas saran teman dalam obrolan di FB (Thank's Pak Makrip yang telah memberikan idenya) kali ini penulis membahas khusus solusi soal tersebut .

SOAL :

Tim Sepakbola terdiri atas 25 orang, masing-masing diberi kaos bernomor 1 sampai dengan 25. Banyak cara memilih tiga pemain secara acak dengan syarat jumlah nomor kaos mereka habis dibagi tiga adalah ...

SOLUSI :

Terdapat 25 nomor  kaos berbeda mulai dari nomor 1 s/d 25.

Misalkan S = {1,2,3,…,25}, kemudian S dikelompokkan menjadi 3 himpunan misalkan A, B, C sehingga A gabung B gabung C = S.

Untuk menentukan jumlah nomor 3 kaos agar habis dibagi 3, maka kita bagi menjadi 4 kasus sbb:

Kasus 1:

A himp bagian S, A={x|x = 3m, 1<m<8}

A = {3,6,9,….,24}, sehingga n(A)=8

Misalkan P = {(x₁,x₂,x₃)| (x₁+x₂+x₃) habis dibagi 3, x₁,x₂,x₃ elemen A}, sebagai contoh: 3+6+9=18 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(P) = 8C3 = 56

Kasus 2:

B himp bagian S, B={y|y = 3m+1, 0<m<8}

B = {1,4,7,….,25}, sehingga n(B)=9

Misalkan Q = {(y₁,y₂,y₃)| (y₁+y₂+y₃) habis dibagi 3, y₁,y₂,y₃ elemen B}, sebagai contoh: 1+4+7=12 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(Q) = 9C3 = 84

Kasus 3:

C himp bagian S, C={z|z = 3m+2, 0<m<7}

C = {2,5,8,….,23}, sehingga n(C)=8

Misalkan R = {(z₁,z₂,z₃)| (z₁+z₂+z₃) habis dibagi 3, z₁,z₂,z₃ elemen C}, sebagai contoh: 2+5+8=15 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(R) = 8C3 = 56

Kasus 4:

Misalkan T = {(x,y,z)| (x+y+z) habis dibagi 3, x elemen A,y elemen B, z elemen C}, sebagai contoh: 3+1+2=6 habis dibagi 3

Banyak kemungkinan jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah n(T) = 8C1 . 9C1 . 8C1 = 8 . 9 . 8 = 576

Jadi banyak cara agar jumlah nomor 3 kaos berbeda habis dibagi 3 adalah 56 + 84 + 56 + 576 = 772