SOAL dan PEMBAHASAN OSP MATEMATIKA SMP TAHUN 2015

Pada tanggal 18 April 2015 telah dilaksanaan OSN matematika SMP tingkat propinsi tahun 2015 secara serentak di seluruh Indonesia. Bagi rekan-rekan yang menginginkan soalnya silahkan unduh pada link berikut.
(SOAL OSP MAT SMP 2015) DOWNLOAD
Sedangkan untuk Pembahasan Bagian A (Isian Singkat) silahkan unduh pada link ini.
SOLUSI OSP MAT SMP 2015 (DOWNLOAD)

Pembahasan Bagian B: Soal Uraian
Nomor 1:

Diberikan himpunan A = {11, 12, 13, … , 30}. Berapakah banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4?

SOLUSI:

A = {11, 12, 13, … , 30}

Kita kelompokkan himpunan bagian A berdasar sisanya jika dibagi 4 sebagai berikut:

Misalkan P adalah himpunan yang bersisa 0, maka P={12,16,20,24,28}

Misalkan Q adalah himpunan yang bersisa 1, maka Q={13,17,21,25,29}

Misalkan R adalah himpunan yang bersisa 2, maka R={14,18,22,26,30}

Misalkan S adalah himpunan yang bersisa 3, maka S={11,15,19,23,27}

Misalkan himpunan bagian yang memiliki 4 anggota tersebut adalah {a,b,c,d}, maka

a + b + c + d habis dibagi 4. Untuk mendapatkan a, b, c, dan d ini ada beberapa kasus:

Kasus 1: Keempatnya merupakan anggota P, banyak cara = ₅C₄ = 5

Kasus 2: Keempatnya merupakan anggota Q, banyak cara = ₅C₄ = 5

Kasus 3: Keempatnya merupakan anggota R, banyak cara = ₅C₄ = 5

Kasus 4: Keempatnya merupakan anggota S, banyak cara = ₅C₄ = 5

Kasus 5: 2 bilangan anggota P dan 2 bilangan anggota R, banyak cara = ₅C₂. ₅C₂= 10.10=100

Kasus 6: 2 bilangan anggota Q dan 2 bilangan anggota S, banyak cara = ₅C₂. ₅C₂= 10.10=100

Kasus 7: 2 bilangan anggota Q, 1 bilangan anggota P, dan 1 bilangan anggota R,

banyak cara = ₅C₂. ₅C₁.₅C₁=10.5.5=250

Kasus 8: 2 bilangan anggota R, 1 bilangan anggota Q, dan 1 bilangan anggota S,

banyak cara = ₅C₂. ₅C₁.₅C₁=10.5.5=250

Kasus 9: 2 bilangan anggota S, 1 bilangan anggota P, dan 1 bilangan anggota R,

banyak cara = ₅C₂. ₅C₁.₅C₁=10.5.5=250

Kasus 10: 2 bilangan anggota P, 1 bilangan anggota Q, dan 1 bilangan anggota S,

banyak cara = ₅C₂. ₅C₁.₅C₁=10.5.5=250

Total semua kemungkinan adalah 5.4 + 2.100 + 4.250 = 1220

Jadi banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4 adalah 1220.

Nomor 2:

Pada gambar berikut, bangun ABCD adalah persegi, bangun EFGH persegi panjang dan luas dua bangun ini sama yaitu 144 cm². Garis BC dan garis EF berpotongan di titik J dan perbandingan panjang BJ : CJ = 1 : 5. Diketahui perbandingan panjang AB : FJ : FG = 4 : 3 : 2. Jika P titik potong diagonal persegi ABCD dan Q titik potong diagonal persegi panjang EFGH, berapakah panjang PQ?

SOLUSI:

Perhatikan Gambar berikut!

Luas persegi ABCD = 144 cm², maka sisi persegi AB=BC=12 cm

Karena BJ : CJ = 1 : 5, dan BC = 12 cm, maka BJ = 2 cm, dan CJ = 10.

Karena AB : FJ : FG = 4 : 3 : 2, dan AB = 12 cm, maka FJ = 9 cm, dan FG = 6 cm.

Diketahui P titik perpotongan kedua diagonal persegi ABCD, dan Q titik perpotongan kedua diagonal persegipanjang EFGH. Selanjutnya konstruksikan ruas garis QR//PS//AB.

Akibatnya JR = ½ . FG = 3 cm, BS = ½ .BC = 6 cm, dan RS = BS – (BJ+JR) = 6 – (2+3) =1 cm.

Karena luas persegipanjang EFGH = 144 cm², maka EF = 144 : FG = 144 : 6 = 24 cm.

Perpanjang QR sampai memotong FG di titik T. Dapat ditentukan QT = ½ .EF = 12 cm, dan  

QR = QT – RT = 12 – 9 = 3 cm, dan PS = ½ AB = 6 cm. 

Selanjutnya perhatikan trapesium PQRS berikut ini. Konstruksikan QU//RS.

 

Nomor 3:

Pada sebuah permainan disediakan sejumlah kartu bernomor semua bilangan prima berbeda yang bernilai kurang dari 100 dalam suatu wadah tertutup. Permainan dilakukan dengan mengambil 2 kartu secara acak dan memeriksa bilangan yang tertera pada kartu, apakah jumlahnya merupakan bilangan prima atau bukan. Jika jumlahnya bukan bilangan prima, ia diberi kesempatan mencoba kembali sampai total 3 kali pengambilan. Seorang pemain akan memenangkan permainan, jika ia berhasil mendapatkan jumlah prima pada maksimal pengambilan ke tiga. Berapa peluang seorang pemain memenangkan permainan tersebut?

SOLUSI:

Terdapat 25 bilangan berbeda yang bernilai kurang dari 100, terdiri dari:

• 1 bilangan genap yaitu 2
• 24 bilangan ganjil yaitu : 3, 5, 6, 11,13, 17, 19, 23, 29,31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71,73, 79, 83, 89, 97

Aturan menang dalam permainan yaitu mengambil dua dari 25 bilangan yang ada sehingga jumlahnya prima, dengan maksimal 3 kali pengambilan. Jika kedua bilangan yang diambil ganjil maka jelas jumlahnya tidak prima karena merupakan bilangan genap selain 2. Ini berarti jumlah prima didapat dari jumlah bilangan 2 dengan satu bilangan ganjil. Selanjutnya perhatikan tabel berikut:

Prima ganjil	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71	73	83	89	97
+2	5	7	9	13	15	19	21	25	31	33	39	43	45	49	55	61	63	69	73	75	85	91	99
P/BP	P	P	X	P	X	P	X	X	P	X	X	P	X	X	X	P	X	X	P	X	X	X	X

Keterangan: P = Prima, X= Bukan Prima

Dari tabel di atas terdapat 8 bilangan prima hasil penjumlahan dua bilangan.

Banyaknya seluruh cara pengambilan = ₂₅C₂=300

Peluang Menang pada setiap pengambilan = 8/300 = 2/75, sedangkan peluang kalah pada setiap pengambilan adalah 1 – (2/75) = 73/75

Selanjutnya peluang menang dalam permainan dapat kita bagi dalam beberapa kasus sbb:

Kasus 1: Menang pada pengambilan pertama.

P(menang I) = 2/75

Kasus 2: Menang pada pengambilan kedua.(Kalah-Menang)

P(menang II) = (73/75)(2/75) =146/5625

Kasus 3: Menang pada pengambilan ketiga.(Kalah-Kalah-Menang)

P(menang III) = (73/75)( (73/75)(2/75)=10658/421875

  

Jadi peluang seorang pemain memenangkan permainan tersebut =

P(menang I) + P(menang II) + P(menang III) = (2/75)+(146/5625)+(10658/421875)= 32858/421875

TIPS MENENTUKAN BILANGAN PRIMA:
Misalkan: Selidiki 323 apakah merupakan bilangan prima?

Perhatikan langkah-langkahnya.
Langkah 1: Carilah Bilangan kuadrat terdekat yang 323, yaitu 324 = 18²
Langkah 2: Tuliskan bilangan prima yang kurang dari 18. Yaitu:  2,3,5,7,11,13,dan 17.
Langkah 3: Bagilah 323 satu persatu dengan semua bilangan prima pada langkah 2.
Langkah 4: “Jika paling sedikit satu bilangan prima dari langkah 2 tersebut dapat membagi habis 323 maka dapat disimpulkan 323 adalah bukan bilangan prima”. Ternyata 17 dapat membagi habis 323. Jadi 323 bukan bilangan prima.