KRIPTOGRAFI

Sebuah soal olimpiade matematika penulis peroleh dari seseorang melalui SMS  yang masuk ke HP penulis. Soal tersebut adalah:

TWO + TWO = FOUR

Jika W = 6, dan semua huruf yang berbeda merupakan digit-digit yang berbeda ,maka tentukan digit pengganti O yang cocok.

SOLUSI:


TWO + TWO = FOUR
Untuk W = 6 maka bentuk di atas dapat ditulis T6O + T6O = FOUR. ..............(*)
Perhatikan bahwa penjumlahan dua bilangan 3 digit menghasilkan bilangan 4 digit, dengan kata lain penjumlahan dua bilangan ratusan menghasilkan bilangan ribuan. Ini mungkin terjadi jika F=1. Selanjutnya Persamaan (*) dapat ditulis T6O + T6O = 1OUR. Dengan menggunakan penyajian bilangan maka bentuk terakhir bisa ditulis:
2( 100T + 60 + O) = 1000 + 100O + 10U + R
200T + 120 + 2O = 1000 + 100O + 10U + R
200T = 880 + 98O + 10U + R
Jelas bahwa 200T > 880, Ini berarti nilai T yang mungkin adalah 5, 6, 7, 8, atau 9.
Kasus 1:
Misalkan T = 5, maka  1000 = 880 + 98O + 10U + R<=>98O + 10U + R = 120. Karena O, U, dan R merupakan digit, maka diperoleh  O = 1, U = 2, dan R = 2, yaitu 98.1 + 10.2 + 2 = 120. Diperoleh F=O=1, padahal setiap huruf berbeda boleh diganti digit yang berbeda. Jadi pada kasus 1 tidak diperoleh solusi.
Kasus 2:
Misalkan T = 6, maka  1200 = 880 + 98O + 10U + R<=>98O + 10U + R = 320. Karena O, U, dan R merupakan digit, maka diperoleh  O = 3, U = 2, dan R = 6, yaitu 98.3 + 10.2 + 6 = 320. Diperoleh W=R=6, padahal setiap huruf berbeda boleh diganti digit yang berbeda. Jadi pada kasus 2 tidak diperoleh solusi.
Kasus 3:
Misalkan T = 7, maka  1400 = 880 + 98O + 10U + R<=>98O + 10U + R = 520. Karena O, U, dan R merupakan digit, maka diperoleh  O = 5, U = 3, dan R = 0, yaitu 98.5 + 10.3 + 0 = 520. Pada kasus ini diperoleh pengganti O yang cocok adalah 5.
Kasus 4 :
Misalkan T = 8, maka  1600 = 880 + 98O + 10U + R<=>98O + 10U + R = 720. Karena O, U, dan R merupakan digit, maka diperoleh  O = 7, U = 3, dan R = 4, yaitu 98.7 + 10.3 + 4 = 720. Pada kasus ini diperoleh pengganti O yang cocok adalah 7.
Kasus 5:
Misalkan T = 9, maka  1800 = 880 + 98O + 10U + R<=>98O + 10U + R = 920. Karena O, U, dan R merupakan digit, maka diperoleh  O = 9, U = 3, dan R = 8, yaitu 98.9 + 10.3 + 8 = 920. Diperoleh T=O=9, padahal setiap huruf berbeda boleh diganti digit yang berbeda. Jadi pada kasus 5 tidak diperoleh solusi.
Jadi digit pengganti O yang cocok adalah  5, atau 7