Selasa, 01 Maret 2011

SOAL 4

Suatu hari penulis mencoba mengerjakan soal OSN tingkat propinsi tahun 2010 bagian isian singkat nomer 3. Setelah beberapa waktu mencoba penulis mengalami kesulitan memecahkannya. Beruntung waktu itu ada siswa alumni  bimbingan penulis, Halimatus Sa'diyah (Juara 2 OSTN SMK tingkat nasional tahun 2010) yang memberi masukan sehingga penulis dapat menuliskan solusi soal tersebut. Thank's to Halim.

Berikut adalah soal yang saya maksud:
SOAL
Diberikan suatu barisan bilangan 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31 , ... yang terdiri dari barisan bilangan pemangkatan 5 atau jumlah bilangan-bilangan berbeda hasil pemangkatan 5. Perhatikan bahwa
1 = 5°, 6 = 1 + 5, 31 = 1 + 5 + 5^2, ... Nilai suku ke-100 pada barisan tersebut adalah …

SOLUSI :
Diketahui suatu barisan : 1, 5, 6, 25, 26, 30, 31 , ...
Misalkan (a,b,c,….) = 5^a + 5^b + 5^c + 5… + …., maka barisan yang dimaksud dapat dituliskan sbb :
Catatan : ^ = dibaca pangkat
Kasus 1:
(0) = 5^0 = 1  , ada 1 suku
Kasus 2:
(1) = 5^1 = 5 ; (0,1) = 5^0 + 5^1 = 6, ada 2 suku
Kasus 3 :
(2), (0,2), (1,2), (0,1,2), ada 4 suku
Kasus 4 :
(3), (0,3), (1,3), (0,1,3),(2,3), (0,2,3), (1,2,3), (0,1,2,3), ada 8 suku
Pola yang terjadi pada banyaknya suku dari kasus 1 s/d 4 adalah : 1 = 2^0, 2=2^1, 4=2^4, 8 = 2^3
Kasus 5:
(4),……Banyaknya suku ada 2^4 = 16
Kasus 6:
(5),……Banyaknya suku ada 2^5 = 32
Kasus 7:
Dari kasus 1 s/d kasus 6 ada sebanyak 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63 suku.
100 – 63 = 37, artinya Untuk mencapai suku ke-100 maka tinggal mencari 37 suku lagi.
Pada tabel di bawah ditunjukkan distribusi ke-37 suku dari kolom 1 s/d 7 yang membentuk pola tertentu sehingga 37 = 1 + 1 + 2 + 4 + 16 + 5

Kolom ke-
1
2
3
4
5
6
7
Banyaknya
1
1=2^0
2=2^1
4=2^2
8=2^3
16=2^4
32=2^5
Suku ke-n
U64
U65
U66–67
U68–71
U72–79
U80–95
U96–100
Barisan
(6)
(0,6)
(1,6)
(0,1,6)
(2,6)
(0,2,6)
(1,2,6)
(0,1,2,6)
(3,6)
(0,3,6)
(1,3,6)
(2,3,6)
(0,1,2,6)
(0,1,3,6)
(0,2,3,6)
(0,1,2,3,6)

(4,6)
……
……
……
……
……
……
……
(0,1,2,3,4,6)
(5,6)
(0,5,6)
(1,5,6)
(0,1,5,6)
(2,5,6)=U100

Jadi nilai suku ke-100 pada barisan yang dimaksud adalah :
(2,5,6) = 5^2 + 5^5 + 5^6 = 25 + 3125 + 15625 = 18775

2 komentar:

Anonim mengatakan...

Di kolom 7 seharusnya ada (1,5,6), jadi perhitungannya sedikit meleset.

Cara lain, mungkin ini bisa jadi alternatif:

Kita tulis barisan tersebut dalam basis 5 seperti ini: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, ... Nah, bentuknya kan menjadi bilangan biner. Jadi kita hitung bilangan biner ke-100, lalu kita baca dalam basis 5.

100 diubah ke basis 2 adalah 1100100. Kemudian 1100100 ini menjadi dalam basis 5, maka nilainya adalah 5^6+5^5+5^2=18775.

:D

Saiful Arif,S.Pd mengatakan...

Salam kenal bangpot. Makasih atas koreksi dan alternatif solusinya. Alternatif solusinya lebih simpel. Mengingatkan saya untuk memberikan materi "bilangan basis".Terlupakan karena di Kurikulum SMP dan Silabus OSN SMP tidak ada.