SEORANG PRESIDEN PUN DAPAT MEMBUKTIKAN TEOREMA PYTHAGORAS

Pythagoras adalah seorang ahli matematika berkebangsaan Yunani yang hidup sekitar tahun 540 sebelum Masehi. Ia menemukan hubungan antara sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku. Untuk menghargai jasa beliau maka teorema tersebut dinamakan Teorema Pythagoras. Tiga ribu tahun lamanya Teorema Pythagoras telah dipakai matematikawan dalam perhitungan matematika dan ilmu ukur. Juga banyak dimanfaatkan dalam perhitungan ilmu teknik misalnya teknik konstruksi.

Kali ini kita tidak membicarakan lebih jauh tentang pembuktian teorema yang dibuat oleh Pythagoras, melainkan yang dibuat oleh seorang negarawan. Jika seorang matematikawan berkontribusi dalam penemuan matematika itu adalah hal yang sudah biasa. Akan menjadi hal yang luar biasa jika hal itu dilakukan oleh seorang presiden. Tahukah anda bahwa pada tahun 1876 seorang presiden Amerika bernama Garfield telah mempublikasikan pembuktikan teorema Pythagoras dengan cara yang cukup unik dan sederhana. Nah untuk lebih jelasnya perhatikan pembahasan berikut.

Sebelumnya perlu kita ingat kembali tentang bunyi TEOREMA PYTHAGORAS

“Pada sebarang segitiga siku-siku berlaku bahwa “Kuadrat hipotenusa (sisi terpanjang) sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lainnya”.

PEMBUKTIAN:

Perhatikan gambar berikut:

Teorema Pythagoras di atas juga dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu :

“Jika segitiga ABC siku-siku di titik sudut A dan panjang masing-masing sisinya secara berturut-turut BC = a, AC = b, dan AB = c maka berlaku a² = b² + c^2”

Presiden Garfield memulai pembuktian dengan membuat gambar berikut.

Segitiga siku-siku ABC kongruen dengan segitiga siku-siku CDE.

AC segaris dengan CD.

Akibatnya AC // DE.

Karena besar ACB +DCE = 90⁰ dan ACD segaris maka besar

BCE = 180⁰ – 90⁰ = 90⁰.

Selanjutnya dengan memperhatikan gambar di atas dan menggunakan rumus luas bangun datar didapat:

Luas Trapesium ADEB = Luas ABC + Luas CDE + Luas BCE

½ AD . (DE + AB) = ½ .AC.AB + ½ .DE.CD + ½ . CE.CB

½ (b + c)(b + c) = ½ .bc + ½ .bc + ½ .a²

b² + 2bc + c² = 2bc + a²

b² + c² = a²

jadi terbukti a² = b² + c²

CONTOH SOAL OLIMPIADE YANG DISELESAIKAN DENGAN TEOREMA PYTHAGORAS.

Hitunglah luas segitiga ABC berikut :

SOLUSI :

PERHATIKAN GAMBAR BERIKUT :

Perhatikan barisan bilangan kuadrat berikut :

1²,2²,3²,4²,5²,6²,7²,8²,9²,10², atau 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Pada segitiga AEB berlaku q² + u² = 104. Dengan coba-coba dan misalkan q<u, maka didapat q² =4, u²=100, atau q = 2, u =10

Pada segitiga ADC berlaku p² + s² = 85. Dengan coba-coba dan asumsikan p<s, maka didapat p² =36, s²=49, atau p = 6, s =7

Pada segitiga BCF berlaku t² + r² = 73. Dengan coba-coba dan asumsikan t<r, maka didapat t² =9, r²=64, atau t = 3, r =8

Selanjutnya dengan menggunakan hubungan yang berlaku u = s + t, dan r = p + q , dapat kita selidiki bahwa jika q<u maka asumsi p<s, dan t<r memang benar.

Dengandemikian gambar dapat kila lengkapi sbb:

Luas segitiga ABC = Luas Persegi panjang BEDF – (LuasAEB + LuasBCF + LuasADC)

Luas segitiga ABC = 10 . 8 – ½ (10 . 2 + 8 . 3 + 7 . 6)

Luas segitiga ABC = 80 – ½ (20 + 24 + 42)

Luas segitiga ABC = 80 – ½ . 86

Luas segitiga ABC = 80 – 43

Jadi Luas segitiga ABC = 37