SOAL 10 : GEOMETRI " Garis berat pada suatu segitiga"

ABCD adalah sebuah limas segitiga (tetrahedron) dengan panjang AB = 3, AC = 8, AD = 6, BC = 7,  BD = 5 , dan CD = 4. Jika d adalah jarak antara titik tengah rusuk AB dan CD,  maka berapakah nilai d².

(Soal dikirim oleh : P. Rizal, Gorontalo)

SOLUSI : (dibahas oleh penulis) 

Sebelumnya penulis mengucapkan terima kasih untuk pak Rizal yang telah mengirim soal tersebut. Untuk dapat memecahkan soal ini pembaca perlu mengingat kembali materi "Garis-garis pada segitiga" meliputi : Garis Proyeksi, Dalil Stewart, dan Garis berat . Bagi yang lupa silahkan  download modul berikut ini:

Garis-garis pada segitiga

Diketahui:


AB = 3
AC = 8
AD = 6
BC = 7
BD = 5
CD = 4
Perhatikan gambar berikut

 
Misalkan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB dan CD .
Sehingga AQ adalah garis berat segitiga ACD yang ditarik dari titik sudut A. Menurut rumus garis berat pada segitiga diperoleh:

AQ² = ½ AC² + ½ AD² – ¼ CD²

AQ² = ½ (8²) + ½ (6²) – ¼ (4²)

AQ² = 32 + 18 – 4

AQ² = 46

Demikian juga BQ adalah garis berat segitiga BCD yang ditarik dari titik sudut B. Sehingga diperoleh:

BQ² = ½ BC² + ½ BD² – ¼ CD²

BQ² = ½ (7²) + ½ (5²) – ¼ (4²)

 

Selanjutnya PQ adalah garis berat segitiga ABQ yang ditarik dari titik sudut Q. Sehingga diperoleh:

PQ² = ½ AQ² + ½ BQ² – ¼ AB²

PQ² = ½ (46) + ½ (33) – ¼ (3²)

 

Karena d = PQ adalah jarak antara titik tengah rusuk AB dan CD, maka nilai d²= PQ² = 37¼.
Demikian pembahasan soal tersebut. Semoga bermanfaat