SOAL 11: ALJABAR “DERET BILANGAN PANGKAT TIGA”

Tentukan nilai dari:

1³ – 2³ + 3³ – 4³ +...+ 49³ – 50³

(Soal dikirim oleh Bapak Bakti via komentar blog tanggal 22 Juli 2011 )

SOLUSI:

Langkah pertama perlu pembaca ingat kembali identitas berikut :

(a – b)³=a³ – 3a²b + 3ab² – b³

a³ – b³=(a – b)³ + 3a²b – 3ab²

a³ – b³=(a – b)³ + 3ab(a – b)

Perhatikan bahwa :

1³ – 2³=(1– 2)³+3.1.2(1– 2)= –1 – 3(1.2)

3³ – 4³=(3 – 4)³+3.3.4(3 – 4)= –1 – 3(3.4)

5³ – 6³=(5 – 6)³+3.5.6(5 – 6)= –1 – 3(5.6)

......................................................

49³ – 50³=(49 – 50)³ + 3.49.50(49 – 50) = –1 –3(49.50)

1³ – 2³ + 3³ – 4³ +...+ 49³ – 50³ = –25 –3(2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450)

Misalkan Pn = 2 + 12 + 30 + 56 +…, maka pola deret nya adalah:

P₁ = 2

P₂ = 2 + 12 = 14

P₃ = 2 + 12 + 30 = 44

P₄ = 2 + 12 + 30 + 56 = 100

P₅ = 2 + 12 + 30 + 56 + 90 = 190

……………………………………...

P₂₅ =2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450 , (karena ada 25 suku yang akan kita hitung, maka n = 25)

Sedangakan beda antar suku dapat ditulis dalam bentuk tabel berikut :

 

Dari tabel di atas terlihat bahwa P_n merupakan “deret aritmetika tingkat 3”, sehingga memiliki rumus :

P_n = an³ + bn² + cn + d

Berdasar beda antar sukunya pula maka rumus tersebut dapat dibuat tabelnya sbb:

 Dengan membandingkan kedua tabel di atas maka diperoleh :

 Subtitusi nilai a, b, c, dan d ke dalam rumus P_n diperoleh :

P_n = (4/3)n³ + n² + (-1/3)n

Dengan demikian

P₂₅ = (4/3)(25³) + (25²) + (-1/3)(25)

P₂₅ = (4/3)(15625) + (625) + (-1/3)(25)

P₂₅ = (1/3)(62500) –(1/3)(25) + 625

P₂₅ = (1/3)(62475) + 625

P₂₅ = 20825 + 625 = 21450

Jadi :

1³ – 2³ + 3³ – 4³ +...+ 49³ – 50³ = –25 –3(2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450)

1³ – 2³ + 3³ – 4³ +...+ 49³ – 50³ = –25 –3(P₂₅)

1³ – 2³ + 3³ – 4³ +...+ 49³ – 50³ = –25 –3(21450) = – 64375