Rabu, 27 Juli 2011

SOAL 11: ALJABAR “DERET BILANGAN PANGKAT TIGA”

Tentukan nilai dari:
13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503
(Soal dikirim oleh Bapak Bakti via komentar blog tanggal 22 Juli 2011 )

SOLUSI:
Langkah pertama perlu pembaca ingat kembali identitas berikut :
(a – b)3=a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
a3 – b3=(a – b)3 + 3a2b – 3ab2
a3 – b3=(a – b)3 + 3ab(a – b)

Perhatikan bahwa :
13 – 23=(1– 2)3+3.1.2(1– 2)= –1 – 3(1.2)
33 – 43=(3 – 4)3+3.3.4(3 – 4)= –1 – 3(3.4)
53 – 63=(5 – 6)3+3.5.6(5 – 6)= –1 – 3(5.6)
......................................................
493 – 503=(49 – 50)3 + 3.49.50(49 – 50) = –1 –3(49.50)


13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450)

Misalkan Pn = 2 + 12 + 30 + 56 +…, maka pola deret nya adalah:
P1 = 2
P2 = 2 + 12 = 14
P3 = 2 + 12 + 30 = 44
P4 = 2 + 12 + 30 + 56 = 100
P5 = 2 + 12 + 30 + 56 + 90 = 190
……………………………………...
P25 =2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450 , (karena ada 25 suku yang akan kita hitung, maka n = 25)

Sedangakan beda antar suku dapat ditulis dalam bentuk tabel berikut :
 
Dari tabel di atas terlihat bahwa Pn merupakan “deret aritmetika tingkat 3”, sehingga memiliki rumus :
Pn = an3 + bn2 + cn + d
Berdasar beda antar sukunya pula maka rumus tersebut dapat dibuat tabelnya sbb:
 Dengan membandingkan kedua tabel di atas maka diperoleh :
 Subtitusi nilai a, b, c, dan d ke dalam rumus Pn diperoleh :
Pn = (4/3)n3 + n2 + (-1/3)n

Dengan demikian
P25 = (4/3)(253) + (252) + (-1/3)(25)
P25 = (4/3)(15625) + (625) + (-1/3)(25)
P25 = (1/3)(62500) –(1/3)(25) + 625
P25 = (1/3)(62475) + 625
P25 = 20825 + 625 = 21450

Jadi :
13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(2 + 12 + 30 + 56 +....+ 2450)
13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(P25)
13 – 23 + 33 – 43 +...+ 493 – 503 = –25 –3(21450) = – 64375 

2 komentar:

Anonim mengatakan...

Alternatif Solusi :
Gunakan rumus : 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2
Persoalan di atas ekivalen dengan
= (1^3+2^3+3^3+...+50^3)-2(2^3+4^3+6^3+...+50^3)
= (1^3+2^3+3^3+...+50^3)-16(1^3+2^3+3^3+...+25^3
= (25x51)^2 – 16(25x13)^2
= (25x51)^2 – (25x52)^2
= 625 x (51^2-52^2)
= -625x(51+52)
= -64375

Saiful Arif,S.Pd mengatakan...

Makasih Pak eddy mampir di blog saya dan altrnatfnya. Thanks jg saya bnyak belajar dr pembhsan soal2 bpk yg sy download